Adana Adıyaman Afyon Ağrı Aksaray Amasya Ankara Antalya Ardahan Artvin Aydın Balıkesir Bartın Batman Bayburt Bilecik Bingöl Bitlis Bolu Burdur Bursa Çanakkale Çankırı Çorum Denizli Diyarbakır Düzce Edirne Elazığ Erzincan Erzurum Eskişehir Gaziantep Giresun Gümüşhane Hakkari Hatay Iğdır Isparta İstanbul İzmir K.Maraş Karabük Karaman Kars Kastamonu Kayseri Kırıkkale Kırklareli Kırşehir Kilis Kocaeli Konya Kütahya Malatya Manisa Mardin Mersin Muğla Muş Nevşehir Niğde Ordu Osmaniye Rize Sakarya Samsun Siirt Sinop Sivas Şanlıurfa Şırnak Tekirdağ Tokat Trabzon Tunceli Uşak Van Yalova Yozgat Zonguldak
İstanbul 11 °C
Yağışlı

Matematikçiler, Toplam küp bulmacasında 42 yi çözdükten sonra, 3 için yeni bir çözüm keşfettiler

07.04.2021
26
A+
A-
Matematikçiler, Toplam küp bulmacasında 42 yi çözdükten sonra, 3 için yeni bir çözüm keşfettiler

Yaşama, evrene ve her şeye cevabı çözdükten sonra ne yaparsınız? Matematikçiler Drew Sutherland ve Andy Booker ise, daha zor problemin peşine düşersiniz.

2019’da, Bristol Üniversitesi’nden Booker ve MIT’de baş araştırma bilimcisi olan Sutherland, 42’nin cevabını ilk bulanlar oldu. Bu sayı, “yaşamın nihai sorusu olan evren” in kurgusal cevabı olarak pop kültürü önem taşıyor. “Otostopçunun Galaksi Rehberi” adlı romanında Douglas Adams’ın ünlü bir şekilde kaleme aldığı gibi. En azından romanda 42’ye ulaşan soru sinir bozucu bir şekilde, komik bir şekilde bilinmiyor.

Matematikte, tamamen tesadüfen, cevabın (42) benzer şekilde matematikçilerden on yıllardır kaçtığı bir polinom denklemi vardır. Denklem x3+ ve3+ ile3= k, küplerin toplamı problemi olarak bilinir. Görünüşte basit olsa da, denklem bir “Diophantine denklemi” olarak çerçevelendiğinde üssel olarak çözülmesi zor hale gelir – herhangi bir k değeri için x, y ve z değerlerinin her birinin tam sayı olması gerektiğini şart koşan bir problem.

Küp denklemlerinin toplamı bu şekilde çerçevelendiğinde, belirli k değerleri için, x, y ve z için tam sayı çözümleri çok büyük sayılara ulaşabilir. Matematikçilerin bu sayılar için araması gereken sayı alanı daha da büyüktür ve karmaşık ve büyük hesaplamalar gerektirir.

Yıllar içinde matematikçiler denklemi çeşitli yollarla çözmeyi başardılar, bir çözüm bularak ya da bir çözümün olmaması gerektiğini belirlediler, 1 ile 100 arasındaki her k değeri için – 42 hariç.

Eylül 2019’da, Booker ve Sutherland, dünya çapında yarım milyon ev bilgisayarının birleşik gücünü ilk kez kullanarak 42’ye bir çözüm buldular. Yaygın olarak bildirilen bu buluş, ekibi daha da zor ve bazı açılardan daha fazla mücadele etmeye teşvik etti. evrensel problem: 3 için bir sonraki çözümü bulmak.

Booker ve Sutherland şimdi 42 ve 3’ün çözümlerini ve 100’den büyük birkaç diğer sayı ile birlikte bu hafta Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabında yayınladı.

Eldiven almak

X denkleminin ilk iki çözümü 3+ ve 3+ ile 3 = 3, herhangi bir lise cebir öğrencisi için açık olabilir; burada x, y ve z, 1, 1 ve 1 veya 4, 4 ve -5 olabilir. Ancak üçüncü bir çözüm bulmak, onlarca yıldır uzman sayı teorisyenlerini şaşkına çevirdi ve 1953’te bulmaca, öncü matematikçi Louis Mordell’i şu soruyu sormaya yöneltti: 3 için başka çözümlerin var olup olmadığını bilmek mümkün mü?

Sutherland, “Bu, Mordell’in eldiveni fırlatması gibiydi,” diyor. “Bu soruyu çözme konusundaki ilgi, belirli bir çözüm için çok fazla değil, bu denklemlerin çözülmesinin ne kadar zor olduğunu daha iyi anlamaktır. Bu, kendimizi ölçebileceğimiz bir kriterdir.”

Yıllar geçtikçe, 3 için yeni çözümler olmadığından, çoğu kimse bulunamayacağına inanmaya başladı. Ancak 42’nin cevabını bulduktan kısa bir süre sonra, Booker ve Sutherland’ın yöntemi şaşırtıcı derecede kısa bir süre içinde 3 için bir sonraki çözümü buldu:

5699368212219623807203 + (-569936821113563493509)3 + (-472715493453327032)3 = 3

Keşif, Mordell’in sorusuna doğrudan bir cevaptı: Evet, 3’e bir sonraki çözümü bulmak mümkün ve dahası, işte o çözüm. Ve belki daha evrensel olarak, şimdiye kadar elenmesi mümkün olmayan devasa, 21 basamaklı sayıları içeren çözüm, 3 için ve diğer k değerleri için daha fazla çözüm olduğunu gösteriyor.

“Matematiksel ve hesaplama topluluklarında bazı ciddi şüpheler vardı, çünkü [Mordell’s question] Test etmek çok zor, “diyor Sutherland ve ekliyor:” Rakamlar o kadar hızlı büyüyor ki. İlk birkaç çözümden daha fazlasını asla bulamayacaksınız. Ama söyleyebileceğim, bu tek çözümü bulduğum için, orada sonsuz sayıda daha fazlası olduğuna ikna oldum. ”

Bir çözümün dönüşü

Hem 42 hem de 3 için çözümler bulmak için ekip, mevcut bir algoritmayla veya küplerin toplamı denkleminin çözülmesinin daha kolay olacağına inandıkları bir biçime dönüştürülmesiyle başladı:

k – z3 = x3 + ve3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

Bu yaklaşım ilk olarak, her uygun k için sonsuz sayıda çözüm olması gerektiğini varsayan matematikçi Roger Heath-Brown tarafından önerildi. Ekip, x + y’yi tek bir parametre, d olarak temsil ederek algoritmayı daha da değiştirdi. Daha sonra her iki tarafı da d’ye bölerek ve sadece kalanı tutarak denklemi indirdiler – matematikte “modulo d” olarak adlandırılan bir işlem – problemin basitleştirilmiş bir temsilini bırakarak.

Sutherland, “Artık k’yi z’nin bir küp kökü, modulo d olarak düşünebilirsiniz,” diye açıklıyor. “Öyleyse, sadece kalan modulo d’yi önemsediğiniz bir aritmetik sisteminde çalıştığınızı ve k’nin bir küp kökünü hesaplamaya çalıştığımızı hayal edin.”

Denklemin bu daha şık versiyonuyla, araştırmacıların yalnızca k = 3 için x, y ve z’ye nihai çözümleri bulmayı garanti edecek d ve z değerlerini aramaları gerekecek. Ama yine de aramak zorunda kalacakları sayı alanı sonsuz büyüklükte olacaktır.

Bu nedenle, araştırmacılar, d için olası çözümlerin alanını önemli ölçüde azaltmak için matematiksel “eleme” tekniklerini kullanarak algoritmayı optimize ettiler.

Sutherland, “Bu, bakmamız gerekmeyen yerlere bakmaktan kaçınmak için sayı alanları hakkında bildiklerimizin yapısını kullanan oldukça gelişmiş bir sayı teorisini içeriyor” diyor.

Küresel bir görev

Ekip ayrıca algoritmanın aramasını yüz binlerce paralel işleme akışına verimli bir şekilde bölmek için yöntemler geliştirdi. Algoritma tek bir bilgisayarda çalıştırılsaydı, k = 3’e bir çözüm bulmak yüzlerce yıl alırdı. İşi, her biri ayrı bir bilgisayarda bağımsız olarak çalışan milyonlarca küçük göreve bölerek, ekip aramalarını daha da hızlandırabilir.

Eylül 2019’da, araştırmacılar planlarını, herhangi bir kişisel bilgisayar tarafından ücretsiz bir uygulama olarak indirilebilen ve zor matematik problemlerini toplu olarak çözmek için herhangi bir yedek ev bilgi işlem gücünü kullanmak üzere tasarlanmış bir proje olan Charity Engine aracılığıyla uygulamaya koydu. O zamanlar, Charity Engine’in şebekesi dünya çapında 400.000’den fazla bilgisayardan oluşuyordu ve Booker ve Sutherland, Charity Engine’in yeni yazılım platformunun bir testi olarak algoritmalarını ağ üzerinde çalıştırabiliyorlardı.

Sutherland, “Ağdaki her bir bilgisayar için, onlara ‘işiniz, diğer bazı koşullara tabi olarak, asal faktörü bu aralığa düşen d’leri aramak’ deniyor,” diyor. “Ve işi, her biri bir bilgisayarın tamamlaması yaklaşık üç saat sürecek olan yaklaşık 4 milyon göreve nasıl böleceğimizi bulmalıydık.”

Çok hızlı bir şekilde, küresel ızgara ilk çözümü k = 42’ye döndürdü ve sadece iki hafta sonra, araştırmacılar k = 3 için üçüncü çözümü bulduklarını doğruladılar. tişörtler.

K = 3 için üçüncü bir çözümün var olduğu gerçeği, Heath-Brown’ın orijinal varsayımının doğru olduğunu ve bu en yenisinin ötesinde sonsuz sayıda çözümün olduğunu göstermektedir. Heath-Brown, aramalarıyla birlikte çözümler arasındaki boşluğun da katlanarak artacağını tahmin ediyor. Örneğin, üçüncü çözümün 21 basamaklı değerleri yerine, x, y ve z için dördüncü çözüm muhtemelen akıllara durgunluk veren 28 basamaklı sayıları içerecektir.

Sutherland, “Her yeni çözüm için yapmanız gereken iş miktarı 10 milyondan fazla artar, bu nedenle 3 çözüm için bir sonraki çözümün bulunması için 10 milyon çarpı 400.000 bilgisayarın bulunması gerekecek ve bunun bile yeterli olduğuna dair hiçbir garanti yok” diyor Sutherland . “Dördüncü çözümü bilip bilemeyeceğimizi bilmiyorum. Ama orada olduğuna inanıyorum.”


Daha fazla bilgi:
Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı (2021). DOI: 10.1073 / pnas.2022377118

Massachusetts Institute of Technology tarafından sağlanmıştır.

ZİYARETÇİ YORUMLARI - 0 YORUM

Henüz yorum yapılmamış.